BAB
I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Makalah ini akan menjelaskan
mengenai dasar-dasar operasi bilangan dan sistem bilangan cacah. Sistem
bilangan cacah meliputi pengertian bilangan cacah, operasi bilangan cacah, dan
sifat-sifat bilangan cacah. Pembahasan ini dirasa sangat penting apalagi
mengenai dasar-dasar operasi hitung. Dalam kehidupan sehari-hari, manusia tidak
lepas dari aktivitas menghitung. Misalnya bagi penjual yang selalu menghitung
untung rugi, anak-anak yang selalu menghitung terlebih dahulu saat akan
menjajakan uang sakunya, perusahaan yang selalu memperhitungkan pengeluaran dan
pemasukkan, dan banyak aktivitas lainnya. Oleh karena itu, manusia setidaknya
bisa melalukan penghitungan sederhana, untuk itu perlu memahami dasar-dasar
operasi bilangan.
Dengan dipahaminya dasar-dasar
operasi bilangan, manusia tidak akan mudah tertipu. Meskipun memang dibutuhkan
keahlian lain dalam matematika agar mempermudah kehidupan manusia. Pada era
modern seperti saat ini, bahkan anak TK sudah banyak yang bisa menghitung dan
memahami dasar-dasar operasi bilangan. Hal tersebut bertujuan agar manusia
dapat mengikuti perkembangan jaman. Dalam makalah ini juga akan membahas
mengenai bilangan cacah.
B. Rumusan Masalah
a. Apa
saja dasar-dasar operasi bilangan?
b. Apa
pengertian bilangan cacah?
c. Bagaimanakah
operasi-operasi bilangan cacah?
d. Apa
saja sifat-sifat bilangan cacah?
C. Tujuan
a. Mengetahui
dasar-dasar operasi bilangan.
b. Memahami
pengertian bilangan cacah.
c. Mengetahui
bagaimana operasi-operasi bilangan cacah.
d. Mengetahui
sifat-sifat bilangan cacah.
BAB
II
PEMBAHASAN
A. Dasar-Dasar
Operasi Bilangan
1.
Operasi
Penjumlahan (Tambah)
Operasi
penjumlahan (tambah) adalah dasar dari operasi hitung pada sistem bilangan. Operasi
penjumlahan selalu digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Dari mulai
bangun tidur dan akan memulai aktivitas kita hingga petang kita selalu
memanfaatkan operasi penjumlahan. Dalam hal ini butuh membedakan antara cara
mengkombinasikan beberapa objek, dimana pengkombinasian tersebut dapat disebut
sebuah kesatuan, dan cara mengkombinasikan objek atau
bilangan-bilangan tersebut dinamakan operasi penjumlahan. Jadi penjumlahan
dua bilangan, misalkan 3 dan 4, dapat disamakan dengan menambahkan sembarang himpunan
yang jumlahnya 3 dan sembarang himpunan yang jumlahnya 4. Kesatuan
ini digambarkan sebagai satu himpunan, dan didapatkan jumlah dari himpunan baru
tersebut.
Lambang
“+” adalah lambang untuk operasi penjumlahan atau pertambahan, sehingga
kalimat matematika dari jumlah tiga dan empat sama dengan tujuh adalah “3+4=7”.
Tanda + mulai dipakai pada abad ke-15 untuk menandai karung padi-padian atau
gamdum yang melebihi berat yang ditentukan sebelumnya.
2.
Operasi
Pengurangan
Menurut Van De Walle, jika salah satu bagiannya dan
totalnya sudah diketahui, maka pengurangan akan menghasilkan bagian yang
satunya. Dengan kata lain, pengurangan adalah dimana ketika telah ditentukan
sebuah jumlah atau total dan kemudian kita mengambil bagian dalam jumlah
tersebut maka hal tersebut dinamakan pengurangan. Misalnya A memulai dengan
total 10, dan menghasilkan sejumlah dua himpunan yang diketahui 10 dan 2.
Ekspresi 10-2 dibaca “sepuluh dikurangi dua” akan menghasilkan sisanya, yaitu
delapan.
3.
Operasi
Perkalian
Operasi perkalian adalah operasi penjumlahan yang
berulang. Operasi perkalian dinotasikan dengan tanda “x”. Maksudnya adalah
misalnya 5 x 3 berarti adalah kita harus menghitung hasil dari 5 + 5 + 5, atau
bisa ditulis dengan 5 x 3 = 5 + 5 + 5. Operasi perkalian juga bisa dikerjakan
dengan cara bersusun panjang dan bersusun pendek, berikut contohnya:
Perkalian
bersusun panjang:
Perkalian
bersusun pendek:
4.
Operasi
Pembagian
Pembagian adalah kebalikan dari operasi perkalian,
jadi pembagian adalah pengurangan berulang. Pembagian dinotasikan dengan tanda
division “÷” atau tanda slash “/”. Jika operasi perkalian 5 x 4 = 20, maka 20 ÷
5 = 4, dan 20 ÷ 4 = 5.
B. Sistem Bilangan Cacah
1.
Pengertian
Bilangan Cacah
Ada
beberapa definisi mengenai bilangan cacah. Bilangan cacah adalah bilangan yang
digunakan untuk menyatakan cacah anggota suatu himpunan. Bilangan cacah juga
dapat didefinisikan sebagai bilangan bulat positif digabung dengan nol.
Sehingga, himpunan bilangan cacah dapat dituliskan {0, 1, 2, 3,..} . Menurut
Kamus Besar Bahasa Indonesia menyatakan bahwa bilangan cacah adalah satuan
untuk sistem penilaian matematis yang bersifat abstrak serta dapat diunitkan, ditambah
dan juga dikalikan. Adapun lambah bilangan cacah biasanya ditulis “C”.
2.
Operasi
Bilangan Cacah
Ada
beberapa operasi yang dapat diberlakukan pada bilangan-bilangan cacah,
diantaranya adalah operasi penjumlahan, operasi pengurangan, operasi perkalian,
dan operasi pembagian.
a. Operasi
Penjumlahan
Operasi penjumlahan
pada bilangan cacah, pada dasarnya merupakan suatu aturan yang mengaitkan
setiap bilangan cacah dengan suatu bilangan cacah yang lain. Sistem bilangan
cacah terhadap operasi penjumlahan ini mempunyai beberapa sifat, yaitu sebagai
berikut:
Ø Sifat
pertukaran (komutatif)
Untuk setiap bilangan
cacah a dan b, berlaku:
|
a + b = b + a
|
Contoh:
a+b = b+a
1+0 = 0+1 = 1
3+1 = 1+3 = 4
Ø Sifat
pengelompokan (asosiatif)
Untuk setiap bilangan
cacah a,b dan c, berlaku:
|
(a+b)+c = a+(b+c)
|
Contoh:
(a+b) c = a+(b+c)
(1+2)+3 = 1+(2+3) = 6
Ø Sifat
Identitas
Yang berarti apabila
dijumlah suatu bilangan cacah dengan bilangan nol maka hasilnya adalah bilangan
itu sendiri.
Untuk setiap bilangan
cacah a, berlaku:
|
a + 0 = 0 + a = a
|
Contoh:
0 + a = a + 0 = a
0 + 3 = 3 + 0 = 3
6 + 0 = 6
Ø Sifat
Tertutup
Jumlah dari setiap
pasang bilangan cacah selalu menghasilkan tepat satu anggota dari himpunan
bilangan cacah.
Contoh:
0+1=1(bilangan cacah)
1+2=3(bilangan cacah)
b. Operasi
Pengurangan
Operasi
pengurangan pada bilangan cacah jika sebuah bilangan cacah a dikurangi dengan
bilangan cacah b menghasilkan bilangan cacah c, ditulis: a-b = c (a lebih dari
b). Operasi pengurangan tidak memenuhi sikap pertukaran, sebab tidak setiap a
dan b akan berlaku a-b = b-a. Pada
operasi pengurangan bilangan cacah juga tidak berlaku sifat identitas, sebab
a-0 ≠ 0-a. Selain itu, sifat asosiatif juga tidak berlaku pada operasi
pengurangan bilangan cacah. Contohnya, misal a = 8, b = 4, c = 2.
(a – b) – c = (8 – 4) – 2 =
2, a – (b – c) = 8 – ( 4 – 2) = 6. Sehingga jelas, 2 ≠ 6.
c. Operasi
Perkalian
Ø Sifat
identitas
Hal ini dapat dilihat
dari adanya sebuah bilangan cacah yang jika dikalikan dengan setiap bilangan
cacah a maka hasilnya tetap a. Bilangan itu adalah 1. Jadi a × 1 = 1 × a, untuk
setiap bilangan a.
Contoh:
1 × 36 = 36 × 1 = 36.
Ø Sifat
pengelompokan
Untuk setiap bilangan
cacah a, b, dan c berlaku:
|
(a × b ) × c = a ×
(b × c)
|
Contoh:
(2 × 3) × 5 = 2 × (3 ×
5)
6 × 5 = 2 × 15
30 = 30
Ø Sifat
penyebaran
Untuk setiap bilangan
cacah a, b, dan c berlaku:
|
a
× (b ±
c) = (a ×b) ±
(a × c)
|
Contoh:
5 × (4 + 6) = (5 × 4) +
( 5 × 6)
5 × 10 = 20 + 30
50
= 50
Ø Sifat
tertutup
Hasil perkalian
bilangan cacah a dan b berupa bilangan bilangan cacah. Contoh:
1 × 2 = 2
1 × 5 = 5
Ø Sifat
komutatifntuk setiap bilangan cacah a dan b, berlaku:
|
a×b
= b ×a
|
Contoh:
5 × 4 = 4 × 5
20 = 20
Ø Perkalian
dengan bilangan 0 adalah 0
|
a × 0 = 0 × a = 0
|
Contoh:
7 × 0 = 0 × 7 = 0
d.
Operasi
Pembagian
Operasi
pembagian merupakan kebalikan dari operasi perkalian. Jika sebuah bilangan
cacah a dibagi bilangan cacah b menghasilkan bilangan cacah c (dilambangkan
dengan a : b), a : b = c → b × c = a, 0
dibagi dengan bilangan cacah (kecuali 0), hasilnya nol, dan pembagian dengan 0
tidak didefinisikan.
3.
Sifat-sifat
Bilangan Cacah
a.
Sifat
identitas penjumlahan
Apabila
a bilangan cacah, maka a + 0 = 0 + a. 0 disebut elemen netral atau elemen
identitas penjumlahan.
b.
Sifat
perkalian dengan 0
Apabila abilangan
cacah, maka:
|
a × 0 = 0 × a
|
c.
Sifat
distributif perkalian
Apabila a, b, dan c
bilangan cacah, dan b lebih besar atau sama dengan c (b ≥ c), maka:
|
a × (b ±
c) = a × b ± (a × c)
|
d.
Sifat
asosiatif persamaan
Ø Apabila
a,b dan c bilangan cacah dan b ≥ c, maka
|
(a + b ) – c = a + (b – c)
|
Ø Apabila
a,b,c dan d bilanagn cacah a ≥ b dan b ≥ d, maka
|
(a + b) – (c + d) =
(a – c) + (b + d)
|
e.
Sifat
– sifat perpangkatan
Ø Sifat
distributif perpangkatan terhadap perkalian
|
(a × b )c
= ac × bc
|
Ø Sifat
distributif perpangkatan terhadap pembagian
|
(a / b)c
= ac : bc
|
Ø ab x
ac = ab+c, ab : ac =
ab-c dengan syarat b > c, (ab)c = abc
Ø Bilangan
0 dalam perpangkatan:
0a = 0, a0 = 1, 00
= tidak terdefinisikan.
f.
Sifat
– sifat penarikan akar
BAB III
PENUTUP
A.
Kesimpulan
Dasar-dasar operasi bilangan terdiri dari operasi
penjumlahan, operasi pengurangan, operasi perkalian, dan operasi pembagian.
Sedangkan pengertian bilangan cacah adalah bilangan bulat positif digabung
dengan nol. Operasi bilangan cacah juga terdiri dari operasi penjulahan,
operasi pengurangan, operasi, perkalian, dan operasi pembagian. Namun dalam
operasi pembagian terdapat beberapa sifat, diantaranya sifat komutatif, sifat
aasosiatif, sifat tertutup, dan sifat identitas. Sedangkan pada operasi
pengurangan tidak berlaku sifat identitas, komutatif dan asosiatif. Sama halnya dengan operasi penjumlahan, operasi perkalian
juga mempunyai sifat-sifat, diantanya sifat komutatif, sifat asosiatif, sifat
distributif , sifat asosiatif, sifat identitas, dan sifat tertutup serta
perkalian dengan bilangan 0 adalah 0.
Sedangkan sifat-sifat bilangan cacah yaitu sifat
identitas, sifat perkalian dengan 0, sifat distributif, sifat asosiatif
persamaan, sifat-sifat penarikan akar, dan sifat-sifta penarikan.
B.
Saran
Dengan penyusunan makalah ini,
penulis berharap pengetahuan mengenai dasar-dasar operasi bilangan dan sistem
bilangan cacah dapat bertambah dan dapat diaplikasikan dalam kehidupan
sehari-hari serta bisa mengajarkannya kepada yang belum mengetahui atau pada
adik-adik kita atau sesama teman.
DAFTAR
PUSTAKA
Asimtot’s. Sifat-sifat pada
Bilangan Cacah, diunduh di
(http://asimtot.wodrpress.com/2010/06/01/sifat-sifat-pada-bilangan-cacah,
Selasa 24 Februari 2015, pukul 17:32).
B, Harahap dan ST. Negoro. 1998. Ensiklopedia Matematika. Jakarta: Ghalia
Indonesia.
Marini, Arita dan Iskandar Agung. 2011. Aritmatika untuk PGSD. Jakarta: Bestari.
Putuerayanti. Sifat- Sifat pada Operasi Bilangan Cacah,
diunduh di
https://putuerayanti.wordpress.com/2013/02/02/sifat-sifat-pada-operasi-bilangan-cacah-aritmetika-bagian-01/,
selasa, 24 Februari 2015, pukul 17: 50).
Roosbiyanto,
Dawig, dkk. 2009. Kumpulan Rumus
MatematikaSMP. Yogyakarta: PT. Citra Aji Parama.
Sukardi, Adi, dkk. Operasi Hitun pada Bilangan Cacah,
diunduh di
(http://www.slideshare.net/SukardiAdi
1/lks-mpm-klpok-6, Selasa, 24 Februari 2015, pukul
17:43).
No comments:
Post a Comment